Halaman
97Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX BABPeluang4Tujuan PembelajaranPada bab ini, kamu akan mempelajari tentang peluang kejadian sederhana. Setelah melakukan pembelajaran ini, kamu dapat:• mengenal pengertian sampel dan populasi;• menjelaskan pengertian percobaan statistika, ruang sampel, titik sampel kejadian;• menentukan ruang sampel suatu percobaan dengan mendata titik-titik sampelnya;• menghitung peluang masing-masing titik pada ruang sampel;• menghitung peluang dengan pendekatan frekuensi relatif;• menghitung peluang secara teoretis;• menentukan dan menghitung nilai peluang suatu kejadian.Teori peluang mulai dikembangkan pada abad ke-17 ketika para ahli matematika mencoba untuk mencari tahu kemungkinan gagal atau berhasil dalam permainan kartu atau dadu. Pada saat ini, peluang digunakan untuk kegiatan yang bersifat prakiraan. Seperti prakiraan curah hujan, kemenangan pertandingan, dan sebagainya. Dua buah dadu bersisi enam muka dilambungkan bersamaan sebanyak satu kali. Tentukan peluang munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 5!Sumber: gallery.hd.org
98Bab 4PeluangMateri PrasyaratMateri tentang peluang merupakan materi baru yang akan kamu pelajari karena belum pernah dipelajari sebelumnya. Sebagai prasyarat mempelajari materi ini, coba kamu ingat kembali konsep himpunan yang telah dipelajari di kelas VII.Soal Pembangkit MotivasiSebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut!1. Pak Rahmat mempunyai tiga potong celana (C1, C2, C3) dan mempunyai lima baju (B1, B2, B3, B4, B5). Buatlah ruang sampel untuk pasangan baju dan celana Pak Iwan!2. Tiga mata uang dilemparkan bersama-sama. Tentukan:a. ruang sampelnya;b. titik sampel untuk munculnya dua angka;c. titik sampel untuk munculnya paling sedikit sebuah gambar.3. Apabila sebuah dadu dilemparkan satu kali, tentukan peluang muncul:a. mata dadu 2b. mata dadu ganjilc. mata dadu lebih dari 2d. mata dadu kurang dari 4e. mata dadu angka prima4. Suatu huruf dipilih secara acak dari huruf-huruf pembentuk nama "AGHNIA WARDAH". Tentukan peluang yang dipilih itu huruf:a. A c. Db. H5. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya:a. kartu berwarna merahb. kartu asc. kartu kingd. kartu bernomor 9 warna hitame. kartu queen warna merahSebelum melakukan pertandingan, pernahkah kamu mendengar orang bertanya tentang berapa peluang? Kita bisa mengalahkan tim lawan? Atau pernahkah kamu mendengar tentang berapa peluang kita bisa memenangkan pertandingan ini?
99Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Kata Kunci• Diagram pohon• Frekuensi harapan• Frekuensi relatif• Kejadian• Kisaran nilai peluang• Peluang kejadian majemuk• Ruang sampel• Tabel• Titik sampelDalam matematika, istilah peluang digunakan untuk menyatakan atau memperkirakan suatu kejadian yang akan berlangsung.A. Ruang Sampel PercobaanLingkup pembelajaran kali ini tentang populasi dan sampel, percobaan statistik, ruang sampel, dan titik sampel kejadian.1. Pengertian Populasi dan SampelPopulasi (population) terkadang disebut dengan universarium (universer), yang dapat diartikan sebagai keseluruhan unsur-unsur atau kumpulan dari individu, elemen atau unit yang memiliki satu atau beberapa karakteristik. Contoh yang termasuk populasi antara lain sekumpulan siswa di kelas III SMP Budi Pekerti pada tahun pelajaran 2003 – 2004, atau sekumpulan penduduk di kandang peternakan milik Sartika.Umumnya penelitian terhadap populasi atau untuk menaksir keadaan populasi, dilakukan dengan melakukan pengukuran terhadap sebagian dari keseluruhan populasi. Pengukuran untuk meneliti populasi dan karakteristiknya terhadap sebagian populasi disebut dengan sampel.Sumber: www.football-wallpapers.com
100Bab 4Peluang2. Pengertian Percobaan Statistika, Ruang Sampel, dan Titik Sampel KejadianPercobaan atau eksperimen adalah suatu ketentuan atau prosedur tertentu yang diikuti untuk memperoleh hasil tertentu. Jadi, percobaan statistika adalah percobaan dengan mengikuti kaidah-kaidah statistika.Ruang sampel atau sample space, adalah himpunan dari data yang dilakukan untuk percobaan atau penelitian. Dengan perkataan lain, semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika, yang biasanya dilambangkan dengan notasi "S".Titik sampel kejadian adalah percobaan pada ruang sampel tertentu atau dapat dikatakan dengan himpunan bagian dari suatu sampel.3. Ruang Sampel KejadianKegiatan melempar uang logam, melempar dadu, mengambil sebuah kartu dari seperangkat kartu bridge, dan sebagainya yang dilakukan satu kali atau secara berulang-ulang dan hasilnya dicatat untuk memperoleh suatu kesimpulan disebut percobaan statistika.Pada percobaan melempar dadu, kemungkinan hasil yang muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 disebut titik sampel sedangkan himpunan yang anggotanya terdiri dari 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 disebut ruang sampel. Jadi, ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan dari semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan. Ada tiga cara dalam menentukan ruang sampel, yaitu cara pendataan, cara diagram pohon, dan cara tabel.a. Cara MendaftarMarilah kita lihat contoh berikut!Contoh1. Melempar mata uang logam. 2. Melempar sebuah dadu. Hasil: gambar (G) dan angka (A)Hasil: 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Ruang sampel: S : {G, A} Ruang sampel: S : {1, 2, 3, 4, 5, 6}b. Diagram PohonMarilah kita perhatikan contoh di bawah ini!Contoh1. Melempar sebuah dadu dan sebuah mata uang. Ruang sampel yang ditunjukkan dengan diagram pohon adalah sebagai berikut.
101Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Jadi, titik sampelnya ada 12.2. Melempar 3 keping uang logam. Ruang sampel yang ditunjukkan dengan diagram pohon adalah sebagai berikut. Uang I Uang II Uang IIIJadi, titik sampelnya ada 8 sehingga S : {(A,A,A), (A,A,G), (A,G,A), (A,G,G), (G,A,A), (G,A,G), (G,G,A), (G,G,G)}c. TabelMarilah kita simak contoh berikut!ContohPada percobaan melempar dua mata uang logam, titik-titik sampel ditunjukkan pada tabel di samping.Jadi, titik sampelnya ada 4.ContohPada percobaan melempar sebuah dadu, tentukan ruang sampel dan kejadian muncul mata prima.GAG(G, G) (G, A)A(A, G) (A, A)
102Bab 4PeluangPenyelesaian:Ruang sampel S : {1, 2, 3, 4, 5, 6}Kejadian muncul mata prima E : {2, 3, 5}Macam-macam peristiwa/kejadian:a. Kejadian sederhana, yaitu kejadian yang memuat satu titik sampel.b. Peristiwa pasti (kejadian pasti), yaitu kejadian yang memuat semua titik contoh.c. Peristiwa mustahil, yaitu kejadian yang memuat tidak satu pun titik contoh.d. Peristiwa majemuk, yaitu peristiwa/kejadian yang dapat dinyatakan dengan gabungan beberapa kejadian sederhana.ContohPada pelemparan 3 mata uang 1 kali pada bidang datar, ruang sampelnya adalah S : {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}. Kejadian mustahil adalah munculnya selain ke-8 rangkaian itu.Kejadian sederhana adalah munculnya salah satu di antara titik-titik sampel, misalnya munculnya 3 angka (AAA).Kejadian pasti, yaitu muncul sedikitnya 1 koin adalah gambar atau angka.Kejadian majemuk adalah munculnya himpunan bagian dan kejadian di atas yang lebih dari 1 titik sampel, misalnya muncul minimal 2 permukaan mata koin yang sama,{AAG, AAA}.DiskusikanPada percobaan melempar sebuah dadu, ruang sampelnya adalahS : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Diskusikan bersama teman sebangku kalian apakah dapat dibuat ruang sampel yang lain untuk percobaan dadu? Jelaskanlah!Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!Tentukanlah ruang sampel dan kejadian pada percobaan berikut ini!1. Dua koin dilemparkan bersama-sama.Kejadian: muncul dua gambar {keterangan Gambar (G) dan Angka (A)}.2. Memilih kartu bernomor 1 sampai dengan 11.Kejadian: mendapatkan kartu bernomor berlipatan 3.3. Satu dadu dan satu koin dilemparkan bersama.Kejadian: muncul mata dadu prima dan muncul angka pada koin.
103Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 4. Memilih 3 pelajar teladan dari 5 pelajar yang terdiri dari 3 pelajar putri dan dua 2 pelajar putra.Kejadian: terpilih 3 pelajar putri5. Dua dadu dilemparkan bersama.Kejadian: muncul mata dadu berjumlah 9.6. Mengambil 3 bola dari sebuah kotak yang terdiri dari 2 bola merah dan 2 bola hijau.Kejadian: mendapatkan jumlah bola merah lebih dari bola hijau.B. Peluang KejadianApabila kita melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pada pelemparan dadu tersebut,a. kemungkinan muncul mata 1 adalah 16b. kemungkinan muncul mata 2 adalah 16c. kemungkinan muncul mata 3 adalah 16.Nilai-nilai kemungkinan muncul mata 1, mata 2, mata 3, dan seterusnya disebut peluang. Jadi, peluang adalah nilai dari suatu kemungkinan.1. Frekuensi RelatifApabila kita melakukan percobaan sebanyak n kali dan ternyata muncul hasil Asebanyak a kali, maka frekuensi relatif dari kejadian A adalah p(A) = anContohPada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak 100 kali ternyata muncul mata 3sebanyak 16 kali. Berapa frekuensi relatif munculnya mata tiga?Penyelesaian:Frekuensi relatif muncul mata tiga = 16100 = 425 = 0,16 Info PlusAwal mula ditemukannya ilmu hitung adalah karena adanya permasalahan pada seorang bangsawan Prancis bernama Chevalier de Mere yang senang berjudi. Dia meminta bantuan kepada Blaise Pascal (1623 – 1662) untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan permainan dadu. Pada mulanya Pascal belum bisa menyelesaikan masalah ini secara sendirian, dan akhirnya Pascal bersama rekannya Piere de Fermat(1601 – 1665) berhasil memecahkan masalah ini dan lahirlah cabang matematika baru yaitu Probability Theory (ilmu hitung peluang).Blaise PascalPiere de FermetSumber:www.klett-cotta.deSumber:www.mathematik.de
104Bab 4Peluang2. Kisaran Nilai PeluangSeperti telah dikemukakan dalam pembahasan sebelumnya bahwa di dalam suatu percobaan terdapat beberapa hasil yang mungkin terjadi. Adapun nilai peluang munculnya suatu hasil yang dimaksud adalah banyaknya hasil yang dimaksud atau banyaknya hasil yang mungkin.Dengan kata lain, peluang terjadinya A adalah perbandingan antara banyaknya anggota kejadian A (titik sampel) dengan banyaknya anggota ruang sampel S. Selanjutnya, dirumuskan seperti berikut ini.P(A) = n(A)n(S)Keterangan:P(A) = nilai kemungkinan atau peluang terjadinya kejadian A;n(A) = banyaknya anggota kejadian A atau banyaknya hasil yang dimaksud;n(S) = banyaknya anggota ruang sampel atau banyaknya hasil yang mungkin terjadi.Contoh1. Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukanlah peluang munculnya: a. mata 3 b. mata ganjil c. mata primaPenyelesaian:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6a. Jika A adalah kejadian muncul mata 3 : {3}n(A) = 1 Jadi, P(A) = n(A)n(S) = 16b. Jika B adalah kejadian muncul mata ganjil : {1, 3, 5}n(B) = 3 Jadi, P(B) = n(B)n(S) = 36 = 12c. Jika C adalah kejadian muncul mata prima : {2, 3, 5}n(C) = 3 Jadi, P(C) adalah = n(C)n(S) = 36 = 122. Sebuah kotak berisi 10 kelereng merah dan 30 kelereng biru. Jika satu kelereng diambil secara acak, berapa nilai peluang terambilnya kelereng berwarna merah dan berwarna biru?
105Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Penyelesaian:n(S) = 10 + 30 = 40n(merah) = 10 dan n(biru) = 30P(merah) = n(merah)n(S) = 1040 = 14 = 0,25 = 25%Jadi, nilai peluang terambilnya kelereng merah = 14 = 0,25P(biru) = n(biru)n(S) = 3040 = 0,75 = 75%.Jadi, nilai peluang terambilnya kelereng biru = 34 = 0,75Batas-batas nilai peluang sebuah kejadian A berisi nilai-nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian. Adapun besar nilai n(A)n(S) tersebut bermacam-macam, yaitu 0, 14, 24, 38, atau 1. Dari nilai-nilai itu jika kita buat batasannya, nilai 0 merupakan batas terkecil dan nilai 1 merupakan batas terbesar.Perhatikanlah!Bila A himpunan bagian dari S, maka:0 n(A)n(S) sehingga0 P(A) 1Jadi, nilai peluang suatu kejadian adalah 0 pada kejadian yang mustahil dan bernilai 1 pada kejadian yang pasti. Perhatikanlah skala berikut ini.ContohPerhatikanlah gambar di bawah ini!Suatu lempeng yang bernomor 1, 2, 3, 4, dan 5 diputar. Setelah berhenti berputar, jarum akan menunjukkan pada salah satu angka. Oleh karena itu, P (2) artinya peluang jarum menunjuk angka 2.
106Bab 4PeluangTentukanlah:a. P (3); d. P (genap);b. P (ganjil); e. P (0);c. P (prima); f. P (bilangan yang kurang dari 6)Penyelesaian:Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5}Jadi, n(S) = 5a. P (3) = n(3)n(S) = 15b. P (ganjil) = n(ganjil)n(S) = 35c. P (prima) = n(prima)n(S) = 35d. P (genap) = n(genap)n(S) = 25e. P (0) = n(0)n(S) = 05 = 0P (0): mustahil terjadi karena lempeng tidak ada angka 0 (nol).f. P (bilangan kurang dari 6) = 55 = 1P (bilangan kurang dari 6): pasti terjadi karena semua nomor pada lempeng kurang dari 6. Dari contoh tersebut, apakah yang dapat kamu simpulkan?3. Frekuensi HarapanApakah yang dimaksud dengan frekuensi harapan? Sudah kita ketahui bahwa hasil dari suatu percobaan tidak dapat diramalkan dengan tepat. Jika kita melemparkan atau mengetes uang logam sebanyak 300 kali, tentu kita harapkan munculnya gambar sebanyak 150 kali. Mengapa demikian? Banyaknya kemunculan yang kita harapkan dari serangkaian percobaan biasanya disebut frekuensi harapan.Jadi, frekuensi harapan dapat dikatakan seperti berikut ini.Frekuensi harapan dari suatu hasil adalah nilai kemungkinan dari hasil percobaan sebanyak n kali.F(A) = n . P(A)Keterangan:F(A) = frekuensi harapanP(A) = peluang kejadian An = banyaknya percobaan
107Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX ContohSebuah dadu dilempar 300 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya:a. mata genap b. mata kurang dari 3Penyelesaian:S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 n = 300a. Misal A adalah mata genap: {2, 4, 6}n(A) = 3P(A) = n(A)n(S) = 36 = 12F(A) = n . P(A)= 300 . 12 = 150Jadi, frekuensi harapan muncul mata genap sebanyak 150 kali.b. Misal B adalah mata kurang dari 3 = {1, 2}n(B) = 2P(B) = n(B)n(S) = 26 = 13F(B) = n . P(B) = 300 . 13 = 100Jadi, frekuensi harapan muncul mata kurang dari 3 adalah sebanyak 100 kali.Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Di suatu kelas terdapat 22 murid laki-laki dan 18 murid perempuan yang namanya ditulis pada sehelai kertas. Kemudian, digulung dan dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Jika suatu gulungan diambil dari kotak secara acak, tentukanlah nilai peluang yang terambil kertas adalah:a. nama murid perempuan,b. nama murid laki-laki.2. Jika sebuah dadu dilempar, tentukanlah nilai peluang munculnya:a. mata dadu genap,b. mata dadu 5,c. mata dadu kurang dari 3,d. mata dadu prima.
108Bab 4Peluang 3. Di sebuah ruang pameran kendaraan terdapat 40 mobil dengan merek dan jenis yang sama, 16 mobil berwarna merah, 10 mobil berwarna biru, 8 mobil berwarna putih,dan sisanya berwarna hitam. Jika semua mobil mempunyai peluang yang sama untuk dijual pertama kali, tentukanlah nilai peluang mobil dijual:a. berwarna biru, c. berwarna putih,b. berwarna merah, d. bukan putih atau hitam. 4. Hitunglah nilai peluang orang mengalami:a. mati b. abadi 5. Sebuah kelereng diambil secara acak dari sebuah kotak yang berisi 5 kelereng merah, 3 kelereng putih, dan 4 kelereng biru. Tentukan nilai peluang munculnya:a. kelereng merah, d. kelereng bukan merah,b. kelereng biru, e. kelereng bukan putih,c. kelereng putih, f. kelereng bukan biru. 6. Jika dua buah dadu dilempar, berapakah nilai peluang munculnya:a. mata dadu genap, e. mata dadu berjumlah 9,b. mata dadu prima, f. mata dadu berjumlah 3 atau 6c. mata dadu berjumlah 12, g. mata dadu berjumlah 10 dan 12,d. mata dadu berjumlah 4, h. mata dadu berjumlah kurang dari 6. 7. Pada satu set kartu bridge, satu kartu diambil secara acak, tentukanlah peluang terambilnya kartu:a. As b. Hitam c. bukan hati d. As atau merah 8. Sebuah perusahaan asuransi memperkirakan bahwa besar kemungkinan seorang karyawan mengalami kecelakaan dalam satu tahun adalah 14%. Berapakah dari 2.000 karyawan diperkirakan akan mengalami kecelakaan? 9. Diketahui bahwa peluang seorang anak lulus ujian adalah 0,95. Berapa di antara 400 anak diperkirakan tidak akan lulus ujian?10. a. Tulislah ruang sampel dari percobaan dua buah dadu yang dilemparkan bersama-sama!b. Tentukan nilai P (ganjil), P (genap), P (6), P (3), dan P (12).c. Berapakah bilangan ganjil yang akan muncul jika lemparan dilakukan sebanyak 500 kali?11. Peluang dalam satu hari seorang pengendara sepeda motor berhenti karena lampu merah adalah 0,20. Berapa kali dia menemui lampu merah jika melewati lampu jalan tersebut sebanyak 50 kali dalam satu hari?12. Suatu sekolah memperkirakan bahwa besar kemungkinan siswa yang sakit dalam satu caturwulan adalah 5%. Apabila jumlah siswa di sekolah tersebut ada 160 orang, berapakah siswa yang diperkirakan sakit selama satu caturwulan itu?13. Dalam suatu kantong terdapat 10 kelereng biru dan 20 kelereng hijau. Apabila diambil beberapa peluang dan pengambilannya diulang sebanyak 200 kali, tentukan peluang terambilnya:a. kelereng biru b. kelereng hijau
109Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 4. Peluang Kejadian Majemuka. Peluang Komplemen dari Suatu KejadianPada gambar diagram venn di samping, bagian yang diarsir adalah komplemen dari kejadian A (dituliskan Ac atau A').ContohDari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Tentukanlah peluang terambilnya bukan kartu raja.Penyelesaian:n(S) = 52Misal A adalah kartu rajann(A) = 12b. Peluang Kejadian A atau BPerhatikan diagram venn di samping!Peluang terjadinya A atau B adalah yang diarsir dan ditulis P (AB).Jadi, P (AB) = P(A) + P(B) – P (AB)
110Bab 4PeluangContohTerdapat sepuluh kartu yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil satu kartu secara acak, berapa peluang terambilnya kartu dengan nomor bilangan prima atau kartu dengan nomor bilangan ganjil?Penyelesaian:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Misal A= kejadian terambilnya bilangan prima {2, 3, 5, 7}B= kejadian terambilnya bilangan ganjil {1, 3, 5, 7, 9}AB = {1, 2, 3, 5, 7, 9}AB = {3, 5, 7}Jika (AB) = f atau n (AB) = 0, maka:P (AB) = P (A) + P(B) – 0 = P (A) + P(B)Peluang ini disebut peluang kejadian saling asing atau saling lepas. Dengan kata lain, suatu kejadian dikatakan saling asing jika AB = f, seperti yang digambarkan pada diagram venn di samping.P(AB) = P(A) + P(B)ContohPada sebuah kotak terdapat 3 kelereng biru, 4 kelereng hijau, 6 kelereng putih, dan 7 kelereng merah. Jika diambil dua buah secara acak, tentukanlah peluang terambilnya:a. kelereng hijau atau putihb. kelereng putih atau merahPenyelesaian:Misal: n(B) = banyaknya kelereng birun(H) = banyaknya kelereng hijaun(P) = banyaknya kelereng putihn(M) = banyaknya kelereng merahn(S) = n(B) + n(H) + n(P) + n(M) = 3 + 4 + 6 + 7 = 20
111Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX a. P(H P) = P(H) + P(P) = 420 + 620 = 1020 = 12b. P(PM) = P(P) + P(M) = 620 + 720 = 13206. Peluang Kejadian A dan BPada gambar di samping ini, yang diarsir adalah A B.Peluang kejadian A dan B atau dapat ditulis P(A B) adalahKegiatanDua dadu dilemparkan bersama-sama. Bagaimanakah menentukan peluang P (4), P (7 atau 12)?Ikutilah langkah-langkah berikut!Ruang sampelnya diperlihatkan dengan tabel berikut. Lengkapilah di buku tulismu!III1234561(1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)2(2, 1). . .. . .. . .. . .. . .3(3, 1). . .. . .. . .. . .. . .4(4, 1). . .. . .. . .. . .. . .5(5, 1). . .. . .. . .. . .. . .6(6, 1). . .. . .. . .. . .. . .a. P (4) = 336 = 112 (karena kejadian jumlah mata dadu 4 didapat dari (1, 3),(. . ., . . .), dan (. . ., . . .)b. P (7 atau 12) = P (7) + P (12) = 636 + ...36 = 736(karena kejadian jumlah mata dadu 7 didapat dari: (6, 1), (1, 6), (5, 2), (2, 5), (3, 4),(4, 3), dan kejadian jumlah mata dadu 12 didapat dari(6, 6)).Dadu keduaDadu pertama
112Bab 4PeluangP(A B) = Contoh1. Dari seperangkat kartu bridge, diambil satu buah secara acak. Tentukanlah peluang terambilnya kartu As dan berwarna merah!Penyelesaian:A= kejadian terambilnya kartu As n(S) = 52B= kejadian terambilnya kartu merah n(AB) = 2P(AB) = 2. Sebuah dadu dilempar dua kali, tentukanlah peluang muncul mata tiga pada pelemparan pertama dan muncul mata enam pada pelemparan kedua!Penyelesaian:Ruang sampelnya ditampilkan pada tabel di bawah ini.III1234561(1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)2(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)3(3, 1)(3, 2)(3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)4(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)(4, 5)(4, 6)5(5, 1)(5, 2)(5, 3)(5, 4)(5, 5)(5, 6)6(6, 1)(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, 5)(6, 6)Misalkan A= kejadian muncul mata 3 pada pelemparan IB= kejadian muncul mata 6 pada pelemparan IIn(S) = 36 = n(SI) × n(SII) = 6 × 6 = 36A dan B= AB = {(3, 6)}
113Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX P(AB) = 136 = 16 × 16 = P(A) × P(B)Ternyata dapat diketahui bahwa P(AB) = P(A) × P(B)Pada contoh di atas kejadian-kejadian pada pelemparan I tidak memengaruhi kejadian-kejadian pada pelemparan II, kejadian ini disebut kejadian yang saling bebas. Peluang kejadiannya disebut peluang kejadian saling bebas dan berlaku:P (AB) = P(A) × P(B)Contoh1. Dua dadu dilempar satu kali. Tentukanlah peluang muncul mata dadu ganjil pada dadu pertama dan mata dadu genap pada dadu kedua. Kejadian ini adalah kejadian saling bebas.Penyelesaian:Misalkan A = kejadian muncul mata ganjil pada dadu IB = kejadian muncul mata genap pada dadu IIP (AB) = P(A) × P(B) = 36 × 36 = 936 = 142. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru. Apabila diambil dua bola secara berurut dan tidak dikembalikan, tentukanlah peluang terambilnya bola biru pada pengambilan pertama dan kedua!Penyelesaian: Misalkan A = kejadian terambilnya bola biru pada pengambilan pertamaB = kejadian terambilnya bola biru pada pengambilan keduaKejadian B ini dipengaruhi oleh kejadian A dan ditulis B/AP(A)= 410 = 25P(B/A) = 39 = 13Jadi, P (AB) = P(A) × P(B/A) = 25 × 13 = 215Peluang kejadian seperti ini disebut peluang kejadian bersyarat dan berlaku:P (AB) = P(A) × P(B/A)
114Bab 4PeluangUji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Dua dadu hitam dan putih diundi, tentukanlah:a. P (2 atau 6) d. P (lebih dari 6)b. P (8 atau 7) e. P (4 dan 10)c. P (bilangan genap) f. P (3 dan 7)2. Dadu hitam dan dadu hijau dilempar secara bersama, tentukanlah besarnya peluang untuk mendapatkan hasil berikut:a. Memuat 1 pada dadu hijaub. Memuat 2 pada dadu hitam atau 6 pada dadu hijau3. Dua dadu diundi, berapakah peluang hasil dadu yang kedua kurang dari hasil dadu yang pertama?4. Pada suatu toko terdapat 100 buah sepeda dengan jenis yang sama, yaitu 25 sepeda warna merah, 30 warna hitam, 20 warna biru, dan 25 berwarna hijau. Jika semua sepeda mempunyai kemungkinan yang sama terjual pertama kali, tentukanlah nilai peluang sepeda berwarna:a. Biru e. Hitam atau birub. Merah f. Hijau atau merahc. Hitam g. Merah atau birud. Hijau h. Bukan merah dan hitam5. Suatu huruf dipilih secara acak dari kata KONDISIONER. Tentukanlah nilai jumlahnya jika yang terpilih huruf berikut:a. O d. Kb. I e. Rc. O atau I f. Bukan K atau R6. Dalam sebuah kantong terdapat 20 butir kelereng kuning, 10 butir kelereng oranye, dan 8 butir kelereng merah jambu. Tentukanlah nilai peluang terambilnya:a. Kelereng kuning atau oranyeb. Bukan kelereng oranye atau kuningc. Kelereng merah jambu dan kuningd. Bukan kelereng kuning dan oranye7. Sebuah mata uang logam dan dadu ditos bersama-sama.a. Buatlah daftar ruang sampelnya!b. Tentukanlah P (A dan 6), P (G dan 4).8. Sebuah lempeng bernomor 1, 2, 3, dan 4. Masing-masing nomor mempunyai peluang yang sama untuk ditusuk oleh jarum.a. Buatlah daftar dari pasangan berurutan putaran pertama dan putaran kedua!b. Tentukanlah nilai peluang dari dua bilangan genap, bilangan genap diikuti bilangan ganjil, dan bilangan ganjil diikuti bilangan genap!
115Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 9. Lempeng bernomor 1, 2, 3, 4, dan 5 diputar satu kali, kemudian ditos sebuah dadu. Buatlah daftar dari pasangan berurutan (lempeng dadu)! Hitunglah:a. P (genap, genap).b. P (jumlah 10).c. P (jumlah kurang dari 6).d. P (jumlah 1).e. P (genap, ganjil) atau (ganjil, genap).10. Dalam sebuah kantong terdapat 3 bola merah dan 4 bola hijau. Diambil satu bola dua kali berturut-turut dan dikembalikan. Berapa besarnya peluang mendapatkan:a. Bola pertama merah dan bola kedua hijaub. Keduanya bola merahc. Pertanyaan seperti a dan b, tetapi bola tidak dikembalikan11. Sebuah penelitian memperkirakan bahwa peluang seorang pria dapat hidup sampai 65 tahun adalah 90%, sedangkan peluang seorang wanita dapat hidup pada usia yang sama adalah 0,85. Berapakah peluangnya jika kedua orang itu dapat hidup pada usia yang sama?12. Peluang seorang pemain basket menjaringkan bola pada daerah tiga angka adalah 0,75, sedangkan pada daerah dua angka adalah 0,9. Dia diberi kesempatan untuk melempar bola di daerah dua angka dan tiga angka masing-masing 50 kali. Tentukanlah peluang banyaknya bola yang dijaringkan pada setiap daerah lempar!13. Peluang seorang pria akan hidup sepuluh tahun lagi adalah 14. Peluang istrinya akan hidup sepuluh tahun lagi adalah 13. Hitunglah peluang:a. Keduanya akan hidup sepuluh tahun lagi.b. Sekurang-kurangnya salah satu akan hidup sepuluh tahun lagi.c. Tidak seorang pun akan hidup dalam sepuluh tahun lagi.d. Hanya suami yang akan hidup dalam sepuluh tahun lagi.e. Hanya istri yang akan hidup dalam sepuluh tahun lagi.14. Peluang Pak Adam terpilih menjadi kepala Desa Sukorejo adalah 310, sedangkan peluang Pak Parno terpilih menjadi kepala Desa Margorahayu adalah 45. Berapa peluang:a. Keduanya terpilih menjadi kepala desa.b. Keduanya tidak terpilih.c. Pak Adam terpilih dan Pak Parno tidak terpilih.15. Dari 30 tamu di sebuah pertemuan diketahui 10 orang gemar minum kopi dan 15 orang gemar minum teh, sedangkan yang gemar kedua minuman sekaligus tidak ada. Jika dipilih secara acak 1 orang. Berapa peluang mendapatkan orang yang gemar minum teh atau kopi?
116Bab 4PeluangRangkuman• Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan dan titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel. Ruang sampel dapat disusun menggunakan diagram pohon dan tabel.• Peluang kejadian A dirumuskan sebagai: P(A) = n(A)n(S)dengan P(A) menyatakan peluang kejadian A, n(A) menyatakan banyak kejadian acak A, dan n(S) menyatakan banyak titik sampel yang mungkin.• Peluang kejadian bukan A (P(A))dirumuskan sebagai: P(A) = 1 – P(A)• Batas-batas nilai peluang kejadian A dituliskan sebagai: 0 P (A) 1dengan P (A) = 0 menyatakan peluang kemustahilan dan P(A) = 1 menyatakan peluang kepastian.• Frekuensi harapan kejadian A dinotasikan sebagai E(A) dan dirumuskan sebagai:E(A) = P(A) × Ndengan N adalah banyak percobaan yang dilakukan.ReÀ eksiSetelah kamu mempelajari bab ini, coba de¿ nisikan kembali pengertian-pengertian berikut ini.a. Ruang sampelb. Peluang dan frekuensi harapanc. Peluang komplemen suatu kejadiand. Peluang kejadian majemuk dan jenis-jenisnya.
117Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Peluangmateri yangdipelariPeta KonsepRuang Sampel KejadianKisaran Nilai Peluang O < P < 1Kejadian saling lepasKejadian saling bebasNilai PeluangRuang SampelTitik SampelDiagram pohonTabelKejadian SampelCara mendaftarFrekuensi HarapanKejadian Majemuk
118Bab 4PeluangUji Kompetensi Akhir Bab 4A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!1. Pada percobaan lempar undi 3 uang logam sejenis secara bersamaan sebanyak satu kali, banyak titik sampel untuk dua angka dan satu gambar adalah . . . .A. 6 C. 3B. 4 D. 22. Sebuah dadu dilempar undi maka peluang muncul mata dadu bilangan prima adalah . . . .A. 16 C. 12B. 13 D. 233. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 6 atau 9 adalah . . . .A. 5324 C. 536B. 19 D. 144. Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola lampu, tiga di antaranya mati. Seorang mengambil acak sebuah bola lampu dan tidak mengembalikan bola lampu tersebut. Besar peluang terambilnya bola lampu hidup pada pengambilan kedua adalah . . . .A. 23 C. 29B. 13 D. 195. Dari 900 kali percobaan lempar undi dua buah dadu bersama-sama, frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 5 adalah . . . .A. 300 C. 180B. 225 D. 1006. Dari 50 siswa terdapat 30 orang yang gemar lagu-lagu pop, 25 orang gemar lagu-lagu dangdut, 10 orang gemar keduanya dan 5 orang yang tidak gemar lagu pop maupun lagu dangdut. Bila dipanggil satu-satu secara acak sebanyak 100 kali maka harapan terpanggilnya kelompok siswa yang hanya gemar lagu-lagu dangdut adalah . . . .A. 15 kaliB. 25 kaliC. 30 kaliD. 50 kali
119Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 7. Dari seperangkat kartu dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260 kali, dan setiap kali pengambilan kartu dikembalikan, frekuensi harapan yang terambil kartu as sebesar . . . .A. 5 kali C. 40 kaliB. 20 kali D. 60 kali 8. Dua dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak 36 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 6 adalah . . . .A. 2 C. 6B. 5 D. 12 9. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 180 kali maka frekuensi harapan munculnya mata dadu kurang dari 6 adalah . . . .A. 60 C. 120B. 90 D. 15010. Tiga buah mata uang logam yang sama dilemparkan secara serempak sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan ketiganya muncul angka adalah . . . .A. 5 C. 20B. 10 D. 40B. Selesaikanlah soal-soal berikut ini!1. RaÀ i melemparkan tiga uang logam bersama-sama. Tentukanlah:a. ruang sampelnyab. peluang munculnya dua gambar dan satu angkac. peluang munculnya tiga gambar2. Sebuah dadu bermata enam dilemparkan sekali. Berapa peluang:a. munculnya bilangan ganjilb. munculnya mata dadu primac. munculnya mata dadu 83. Kotak A berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Kotak B berisi 2 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Sebuah kelereng diambil dari masing-masing kotak. Berapa peluang terambilnya kelereng putih dari kotak A dan kelereng merah dan dari kotak B?4. Hasil suatu penelitian menyimpulkan bahwa peluang seseorang terjangkit penyakit cacar adalah 0,003. Jika diperiksa 500 orang maka berapakah frekuensi harapan seseorang tidak terjangkit penyakit cacar?5. Dua buah dadu bermata enam dilempar bersama-sama.a. Tentukan ruang sampelnya dengan tabel!b. Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah kecil dari 7.c. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu keduanya ganjil jika kedua dadu itu dilempar 500 kali.
120Latihan Ulangan Umum Semester 1LATIHAN ULANGAN UMUM 1I. Pilih jawaban A, B, C, atau D untuk setiap pernyataan atau soal berikut ini!1. Dari gambar di samping yang merupakan pernyataan yang benar adalah . . . .A. ADEBCEB. AEBEC. AD = BCD. EDEC2. Dari gambar di samping yang merupakan pernyataan yang salah adalah . . . .A. ST = PTB. PQ = SRC. STRPTQD. ǻSTRǻPTQ3. Besar sudut x° pada bangun WXYZ adalah . . . .A. 30°B. 60°C. 150°D. 15°4. Pada gambar di samping, PQRS adalah persegi panjang, jika QT = SU, maka panjang UP adalah . . . .A. 12B. 13C. 119D. 12,5
121Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 5. Diketahui bahwa BE = CE. Pernyataan yang salah dari gambar di samping adalah . . . .A. CD = BFB. DE = EFC. ǻAECŁǻABED. ǻCDEŁǻBEF6. Panjang x pada gambar di samping ini adalah . . . .A. 2,4 satuan panjangB. 4,2 satuan panjangC. 2,5 satuan panjangD. 3 satuan panjang7. Perhatikan gambar di samping dengan cermat. Panjang BC adalah . . . .A. 4,67 cmB. 6 cmC. 5 cmD. 7,5 cm8.Bangun persegi panjang ABCD sebangun dengan kebun PQRS. Panjang kebun tersebut adalah . . . .A. 240 cmB. 24 mC. 2,4 mD. 240 m
122Latihan Ulangan Umum Semester 1 9. Di antara bangun-bangun tersebut yang memiliki bentuk yang sebangun adalah . . . .A. ǻRPQ dan ǻXYZ C. ǻABC dan ǻSTUB. ǻMKL dan ǻABC D. ǻMKL dan ǻSTU10. Sebuah truk memiliki bayangan di atas tanah sepanjang 800 cm, sedangkan pada saat yang sama sebuah batang kayu yang memiliki tinggi 4 m memiliki bayangan sepanjang 5 m. Tinggi truk tersebut adalah . . . .A. 6.400 cm C. 6,4 mB. 64 cm D. 640 m11. Panjang jari-jari alas tabung yang luas selimutnya 144 ʌ cm2 dan tingginya 12 cm adalah . . . .A. 6 cm C. 10 cmB. 8 cm D. 12 cm12. Panjang jari-jari bola yang volumenya 972 ʌ cm3 adalah . . . .A. 6 cm C. 12 cmB. 9 cm D. 15 cm13. Luas alas kerucut yang tingginya 15 cm dan panjang garis pelukisnya 17 cm adalah . . . .A. 64 ʌ cm2 C. 289 ʌ cm2B. 225 ʌ cm2 D. 324 ʌ cm214. Perbandingan volume kerucut dan tabung yang jari-jari alasnya sama serta tingginya sama adalah . . . .A. 1 : 3 C. 9 : 1B. 1 : 9 D. 3 : 115. Perbandingan volume bola yang berjari-jari 10 cm dan volume bola yang berjari-jari 20 cm adalah . . . .A. 1 : 2 C. 1 : 6B. 1 : 4 D. 1 : 816. Di dalam tabung terdapat sebuah bola yang menyinggung sisi-sisi tabung tersebut. Perbandingan volume tabung dan bola adalah . . . .A. 3 : 4 C. 2 : 3B. 2 : 3 D. 3 : 2
123Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 17. Seseorang membeli kaleng-kaleng bekas dengan perbandingan harga berdasarkan perbandingan volume kaleng. Jika kaleng berjari-jari 30 cm dibelinya dengan harga Rp900,00, maka harga kaleng yang berjari-jari 10 cm (dengan tinggi sama) adalah. . . .A. Rp450,00 C. Rp200,00B. Rp300,00 D. Rp100,0018. Nilai yang membagi data menjadi dua kelompok yang sama banyaknya disebut . . . .A. mean C. quartilB. modus D. median19. Dalam suatu kelas diadakan ulangan harian dan hasil-hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.70 45 70 45 50 55 70 80 60 70 6060 55 70 80 90 60 70 55 60 80 70Modusnya adalah . . . .A. 80 C. 55B. 60 D. 7020. Pada suatu penelitian diperoleh data sampel 7, 8, 4, 9, 5, 6, 8, 5, 6, maka nilai median dari data sampel itu adalah . . . .A. 5 C. 7B. 6 D. 921. Nilai ulangan matematika dari sekelompok siswa adalah seperti pada tabel di samping. Rata-rata nilai ulangan tersebut adalah . . . . A. 6 12 C. 6 B. 7 D. 6 62122. Nilai ulangan Bahasa Inggris seorang siswa dibuat dengan daftar di samping. Nilai median siswa tersebut adalah . . . .A. 6 C. 8B. 7 D. 923. Pada suatu hari, lamanya menggunakan pesawat telepon di suatu kantor dinyatakan dalam suatu menit, tercatat data sebagai berikut.3, 6, 10, 5, 6, 2, 2, 7, 13 Mean menggunakan telepon tersebut adalah . . . .A. 6 C. 7B. 8 D. 9NilaiFrekuensi4567832583Nilai56789Frekuensi13422
124Latihan Ulangan Umum Semester 1Menggambarkan 10 siswa24. Dari sekumpulan nilai hasil ujian diperoleh nilai 64, 58, 65, 40, 46, 53, 50. Hamparan/jangkauan interkuartilnya adalah . . . .A. 46 C. 64B. 18 D. 5325. Di suatu SMP diadakan survei terhadap 180 siswa. Hasilnya diperoleh data 25 siswa senang sains, 40 siswa senang pengetahuan sosial, 35 siswa senang matematika, 50 siswa senang Bahasa Inggris, dan 30 siswa senang olahraga dan kesehatan. Jika data tersebut dibuat diagram lingkaran, luas daerah pada juring pengetahuan sosial membentuk sudut . . . .A. 50° C. 80°B. 60° D. 70°26. Diketahui diagram batang di atas. Dari diagram batang tersebut meannya adalah . . . .A. 7,8 B. 8 C. 7 D. 6,827. Piktogram berikut menggambarkan data hasil survei tentang alat transportasi yang digunakan siswa ke sekolah. Banyaknya siswa yang naik sepeda motor adalah . . . .A. 30 orang C. 40 orangB. 35 orang D. 60 orang
125Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 28. Nilai kemungkinan seseorang akan terkena penyakit jantung karena merokok adalah 0,71. Jumlah yang akan terkena sakit jantung pada 300 orang perokok adalah . . . .A. 87 C. 210B. 213 D. 9329. Dua buah dadu dilemparkan secara bersamaan sebanyak 60 kali. Jumlah mata dadu kurang dari 5 diharapkan muncul adalah . . . kali.A. 8 kali C. 10 kaliB. 12 kali D. 6 kali30. Peluang terambilnya bola merah pada sebuah kantong yang berisi 20 bola merah dan 30 bola kuning, jika pada pengambilan pertama terambil bola kuning tanpa dikembalikan lagi adalah . . . .A. 1949B. 2049C. 2050D. 3040B. Selesaikanlah soal-soal berikut ini!1. Dua segitiga di bawah ini adalah sebangun. Hitunglah nilai x.2. Perhatikan gambar di samping ini!Sebuah tangga (AC) yang panjangnya 15 m bersandar pada tembok. Jarak dari kaki tangga (C) ke tembok (B) adalah 9 cm. Jika segi 4 DEFB adalah lemari dengan tinggi 5 m, berapakah lebar lemari tersebut?
126Latihan Ulangan Umum Semester 1 3. Perhatikan gambar di bawah ini! Seorang siswa berdiri di depan tiang bendera. Berapakah tinggi tiang bendera? 4. Sebuah pabrik drum yang berbentuk tabung memproduksi drum baru yang jari-jari alasnya 2 kali lebih besar dibandingan jari-jari drum lama. Jika drum baru volumenya 9.264 cm3, berapakah volume drum lama? 5. Perbanding harga bola pada sebuah toko ditentukan berdasarkan perbandingan volumenya. Jika bola yang berjari-jari 10 cm harganya Rp30.000,00, maka berapakah harga bola yang berjari-jari 15 cm. 6. Dalam suatu kumpulan 60 orang yang terdiri dari dokter dan hakim diketahui bahwa umur rata-rata mereka adalah 60 tahun. Jika umur rata-rata hakim adalah 60 tahun dan umur rata-rata dokter adalah 45 tahun, tentukan:a. banyaknya dokter,b. banyaknya hakim. 7. Perhatikan diagram lingkaran di samping ini! Jika banyaknya seluruh orang tua siswa 400, maka berapakah banyaknya orang tua siswa yang berprofesi sebagai pegawai swasta? 8. Dalam satu kelas diketahui yang gemar PKn 10 siswa, gemar IPA 6 siswa, gemar IPS 9 siswa, gemar Bahasa Indonesia 12 siswa, dan gemar matematika 8 siswa. Jika data itu disajikan dalam diagram lingkaran, maka berapakah besar sudut pusat untuk siswa yang gemar matemetika? 9. Dari 10 siswa akan dipilih 3 siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba matematika tingkat kabupaten. Berapakah banyaknya formasi yang mungkin terjadi?10. Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 200 kali, banyaknya mata 4 muncul 33 kali. Berapakah frekuensi relatifnya?* * *